Палиндроматика - особый литературный жанр. Палиндромы (в переводе с греческого «бегущие или возвращающиеся назад»)- это слова, фразы, предложения, стихи и т.д. читаемые одинаково в обоих направлениях. Вам известна, наверное, такая фраза: А роза упала на лапу Азора.
Числовой палиндром — это натуральное число, которое читается слева направо и справа налево одинаково. Иначе говоря, отличается симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным. Палиндромы встречаются в некоторых множествах чисел, удостоенных собственных названий: среди чисел Фибоначчи — 8, 55 (6-й и 10-й члены одноимённой последовательности); фигурных чисел — 676, 1001 (квадратное и пятиугольное соответственно); чисел Смита — 45454, 983389. Указанным свойством обладает также всякий репдиджит, например 2222222 и, в частности, репьюнит.
Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Так, в книге «Есть идея!» известного популяризатора науки Мартина Гарднера в связи с этой задачей упоминается «гипотеза о палиндромах». Возьмём любое натуральное число и сложим его с обращённым числом, то есть записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. Проделаем то же действие с получившейся суммой и будем повторять его до тех пор, пока не образуется палиндром. Иногда достаточно сделать всего один шаг (например, 312 + 213 = 525), но, как правило, требуется не менее двух. Скажем, число 96 порождает палиндром 4884 только на четвёртом шаге. В самом деле:
96 + 69 = 165,
165 + 561 = 726,
726 + 627 = 1353,
1353 + 3531 = 4884.
А суть гипотезы в том, что, взяв любое число, после конечного числа действий мы обязательно получим палиндром.
ИГРЫ ЦИФР. До сих пор мы рассматривали в основном составные числа. Теперь обратимся к числам простым. В их бесконечном множестве имеются немало любопытных экземпляров и даже целые семейства палиндромов. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходятся на первую тысячу, из них четыре числа однозначные — 2, 3, 5, 7 и всего одно двузначное — 11. С такими числами связано немало интересных фактов и красивых закономерностей.
Во-первых, существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр — 11. Другими словами, произвольный палиндром с чётным числом цифр, бóльшим двух, число составное, что нетрудно доказать на основе признака делимости на 11.
Во-вторых, первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1, 3, 7 или 9. Это следует из известных признаков делимости на 2 и на 5. Любопытно, что все простые двузначные числа, записанные с помощью перечисленных цифр (за исключением 19), можно разбить на пары чисел-«перевёртышей» (взаимно обращённых чисел) вида 
и 
, где цифры a и b различны. Каждая из них, независимо от того, какое число стоит на первом месте, читается одинаково слева направо и справа налево:
13 и 31, 17 и 71,
37 и 73, 79 и 97.
Заглянув в таблицу простых чисел, мы обнаружим аналогичные пары, в записи которых присутствуют и другие цифры, в частности, среди трёхзначных чисел подобных пар наберётся четырнадцать.
Кроме того, среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отличается всего на 1:
181 и 191, 373 и 383,
787 и 797, 919 и 929.
Аналогичная картина наблюдается и у больших простых чисел, например:
94849 и 94949,
1177711 и 1178711.
Простые числа-палиндромы могут «задаваться» разными симметричными формулами, которые отражают особенности их записи. Это хорошо видно на примере пятизначных чисел:
Выполните задание
Задача
Вычислить количество чисел - палиндромов, делящихся на 2
а) двузначных
б) трехзначных
в) четырехзначных
г) пятизначных
Задача
Вычислить количество чисел - палиндромов, делящихся на 3
а) двузначных
б) трехзначных
в) четырехзначных
г) пятизначных
Число Смита — составное число, сумма цифр которого равна сумме цифр его простых делителей.
Репдиджит — натуральное число, в записи которого все цифры одинаковые.
Репьюнит — натуральное число, записанное с помощью одних только единиц.
Подробнее см.: http://www.nkj.ru/archive/articles/17984 (Наука и жизнь, Палиндромы и «перевёртыши» среди простых чисел)
